Título de la obra:
Las cuadráticas - Ecuaciones y Funciones
Autora:
Fabiana Andrea González
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco
Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS, WebSim, Phet Colorado GeoGebra, ...
Este libro utiliza la biblioteca $\KaTeX$ para el uso de fórmulas matemáticas y mhchem.js
Fuentes: Lato y UbuntuMono
Imagen de portada: ilustración creada por la autora con Canva
Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org
Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm
ISBN:
Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.
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Ejercitacion. Es hora de trabajar! Tener lápiz y papel a mano para hacer los ejercicios |
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Inteligencia Artificial (IA) Recurso comparido realiado con IA |
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Hola!
Soy Fabiana! La "profe", como me saludas por los pasillos de la uni. Durante años he estado, frente al pizarrón y sentada a tu lado en el banco para enseñarte, pero también he aprendido de vos y de todos los estudiantes. De su espontaneidad, de su forma de expresarse.
Siempre quise preparar algún material didáctico extra para brindarles los conocimientos desde otro lugar. Hace años descubrí el maravilloso mundo de la RED Descartes, y te he compartido sus libros e interactividades para darle vida a las explicaciones. Y de tanto buscar material y seguirlos, descubri que podia aprender a hacerlos yo misma.
Hoy te acerco este primer recurso digital interactivo que tiene por objetivo ayudarte a rever y actualizar conceptos y conocimientos que son indispensables para la comprensión de los contenidos de una primera materia de matemática en el nivel universitario. Empiezo por un par de temas, pero la historia continuará!
Te cuento que podes compartir este material con estudiantes que conozcas, que quieran ingresar a una carrera universitaria en la que figure matemática en el plan de estudios, indistintamente de la Facultad o Universidad que elijan.
Debes recordar:
Comenzamos...
Te presentamos algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
Son ecuaciones cuadráticas porque el mayor exponente al que está elevada la incógnita es 2
"La forma general de una ecuación de segundo grado con incógnita $\ x $ es:
Pero.... como se resuelven estas ecuaciones?
Primero veamos la formas particulares que podria adoptar la ecuación cuadrática para luego analizar la forma más simple que podríamos utilizar para resolverlas.
El siguiente esquema te ayudará a identificar los distintos tipos de ecuaciones cuadráticas.
(Al pasar sobre cada una de las expresiones, aparecerá un ejemplo de cada caso)
Completas
Incompletas
¡A no desesperarse!
Utilizando los conocimientos que ya tenes, ¿Cuáles te parecen más fáciles de resolver?
Empezamos por las incompletas, ¿te parece?
Como puede verse en el esquema de la pagina anterior, se presentean tres casos, que se desarrollan a continuacion.
En cada uno de los casos, podes mirar el video que se encuentra a la izquierda, que contine el desarrollo paso a paso y un ejemplo.
Y ahora!!!?????
¡A no desesperarse!
Empezaremos por la fórmula general, ¿te parece?
Recuerda que
Aprender matemática no es sólo leer y mucho menos no se trata de hacer una lectura veloz . . . sino que debe ser una
lectura reflexiva. Es más productivo leer detenidamente cada renglón e ir realizando tú mismo lo que indica el texto que te guía en el
aprendizaje . . . Si lo haces será como ir adelantándote a los
resultados y usar los resultados del texto para verificar que vas
comprendiendo los conceptos y adquiriendo destrezas en los pasos
algebraicos. Muchas veces es necesario re-leer antes de continuar.
¿Estás estudiando con lápiz y papel? (Sabio consejo de Ester)
En la siguiente animación, puedes ver una interpretación geométrica de como se realiza el completamiento de cuadrados de la expresion:
A continuación podés ver una presentacion, paso a paso de la deducción de la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, conocida como
Fórmula resolvente.
Seguramente te suene el nombre Bhaskara no? Pero... sabias como se obtiene la famosa fórmula?
Te invito a seguir la siguiente presentacion:
Ejemplos de ecuaciones cuadraticas resueltas mediante completamiento de cuadrados
¿Qué es el discriminante? Analicemos la fórmula que obtuvimos anteriormente.
$$\ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
La expresion $\ b^2-4ac$ , que se encuentra dentro de la raíz cuadrada se llama discriminante de la ecuación y se designa con la letra griega delta $\Delta$.
Veamos que sucede con las raices de la ecuación cuadrática, dependiendo si el discriminante $\Delta$ sea mayor, menor o igual a cero.
(Al deslizarte por las filas de la tabla, éstas se destacarán cambiando de color)
| Valor del discriminante $\Delta$ |
Soluciones (Raices) |
Ejemplo |
|---|---|---|
| $\Delta$ $>0$ | 2 soluciones reales |
$ x^2 - 3x + 2 = 0$ $x_1=2$ $x_2=1$ |
| $\Delta$ $=0$ | Una unica solucion. (Raiz doble) |
$x^2 - 4x + 4 = 0$ $x_1=x_2=2$ |
| $\Delta$ $ <0$ | No tiene solucion real Raices complejas conjugadas |
$x^2 + x + 1 = 0$ $ x_1=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ $ x_2=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ |
Recordá este concepto del discriminate!!!
Verás que nos será de mucha utilidad en el próximo capítulo. Veremos que relación existe entre las soluciones o raíces de una ecuación con las respectivas representaciones gráficas de las funciones cuadráticas.
Te invito a que busques lápiz y papel, para analizar el discriminante delta $\Delta$ de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Efectúa los cálculos necesarios para poder concluir, basándote en la tabla anterior, que tipo de raices tendrá cada una de las ecuaciones dadas.
En la siguiente actividad, debes hallar las raíces de las ecuaciones cuadráticas, aplicando la fórmula.
Te aconsejo primero, buscar lápiz y papel para resolverlas vos primero.
Luego verificás el resultado utilizando la calculadora de ecuaciones cuadráticas Diseñada con ayuda de la inteligencia artificial websim
y luego editada.
Tenés que ingresar los coeficientes a, b y c. (tiene la opción de poner fracciones y raices cuadradas). Para finalizar oprimís el botón calcular y te dará las soluciones!
Hasta ahora hemos trabajado con situaciones en las que a partir de la ecuación cuadrática debemos hallar las raíces.
Veamos cómo podemos reconstruir una ecuación cuadrática si tenemos como datos las dos raíces. Para esto vamos a estudiar en primer lugar, dos relaciones que existen entre la suma y el producto de las raíces, con los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática.
La suma de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al cociente entre el coeficiente lineal cambiado de signo y el coeficiente principal, de dicha ecuación cuadrática.
El producto de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al cociente entre el término independiente y el coeficiente principal, de dicha ecuación cuadrática.
Te invito a continuacion a realizar unos ejercicios para aplicar estos conceptos. Si bien en la presentacion podes ir viendo las soluciones, te sugiero que intentes hacer los calculos antes de verlas.
Te invito a que busques lápiz y papel, antes de ver la siguiente presentacion
Vamos terminando este tema, pero antes es importante relacionarlo con las funciones cuadráticas.
Vimos que las soluciones de las ecuaciones, las llamamos raíces, y este concepto tiene una interpretación geométrica. Si tuviérmaos la siguiente espresión que representa a una función cuadrática:
$$\ y=ax^2+bx+c$$ al hacer que $\ y=0$ estamos convirtiendo la expresión dada en una
ecuación cuadrática $$\ ax^2+bx+c=0$$ Al hallar la solución (raices), estamos encontrando la interseccion de la gráfica on el eje $\ x$.
Te invito a ver el siguiente video, en donde se muestra esta interpretación de manera muy clara:
Te invito a sentarte comodo/a, pero.....
previamente podés preparte unos
ricos mates, café, té, o lo que prefieras!
Pero...
no te olvidés del lápiz y papel,
mejor varios papeles muchosss!!
Si te equivocás, volvés a empezar!
" No he fracasado,
simplemente encontré
10,000 soluciones
que no funcionaron."
(Thomas Edison)
Te invito a que interactues con el siguiente recurso de GeoGebra Actividad tomada de GeoGebra "Ecuación de segundo grado. Aplica la fórmula" Autor: Javier Cayetano Rodríguez"enlace
Propósito: Resolver ecuaciones cuadráticas completas.
Instrucciones: Se iran presentando pantallas, con ecuaciones cuadraticas que tenés que resolver, e ir poniendo los resultados en los casilleros correspondientes. Podés corregir y tambien hacer más ejercicios. Lee atentamente las indicaciones que iran apareciendo. Suerte!!
Ya has utilizado la inteligencia artificial para estudiar? Acá te muestro un ejemplo de una consulta que le hice a MathGPT: Cómo se soluciona una ecuación cudrática? y te muestro lo que me respondió. Pero cuidadooooooo al utilizarlas! a no abusar!
Podés aprovechar y pedirle que te genere más ejercicios para practicar!
Debes recordar:
En simbolos
La relación $f:A\to B$ es una función si y solo si
$\forall x\isin A$ existe un único $y\isin B/ y=f(x)$
siendo $A=Dom_f$
Función polinómica
Una función polinómica es una función algebraica, definida a partir de sumas y productos de términos conocidos como monomios, de la forma:
$f(x)=a_nx^n+...+a_2x^2+a_1x+a_0$ $con$ $a_n≠0$
Donde, $a_0, a_1...a_n$ son los coeficientes del polinomio, y sus valores son reales.Al término $a_0$ se le conoce como término independiente
El polinomio se identifica por el grado $\ n$, siendo el mayor exponente entero no negativo que tiene la variable independiente $\ x$.
El dominio de toda función polinómica es el conjunto de todos los números $\mathbb{R}$, ya que al sustituir la variable $x$ por un número $\mathbb{R}$ cualquiera con $x \in\mathbb{R}$, siempre va a existir $f(x)$.
Las funciones cuadráticas. permiten modelar fenómenos que siguen patrones parabólicos, en los cuales las relaciones entre las variables que los describen no es lineal. En la vida diaria, las funciones cuadráticas se utilizan para modelar diversas situaciones, como las trayectorias de objetos en movimiento, la determinación de áreas máximas en problemas geométricos y la optimización de rendimientos en procesos productivos. En el campo de la economía, estas funciones son esenciales para analizar costos, ingresos y beneficios, ofreciendo herramientas clave para maximizar utilidades o reducir pérdidas en diferentes contextos comerciales e industriales.
Estudiar las funciones cuadráticas no solo permite comprender estas aplicaciones, sino que también desarrolla habilidades clave como el razonamiento algebraico, la resolución de problemas y la interpretación gráfica, esenciales en disciplinas como la física, la ingeniería, la economía y las ciencias sociales.
Podemos decir, que una función cuadrática, es una función polinómica de grado 2, es decir para $n=2$.
Sin embargo algunos autores la definen formalmente, de la siguiente manera:
Te presentamos algunos ejemplos de funciones cuadráticas:
El dominio de la función es el conjunto de los números reales $Dom_f=R$, y su representación gráfica es una curva llamada parábola . Las parábolas tienen diferentes características que determinan su forma y su ubicación en el plano cartesiano. Estas características son:
Veremos a continuación las caracteristicas de la representación gráfica de la parábola, e iremos descubriendo como inciden los parámteros $a, b$ y $c$ en la "forma" que adoptará la curva. Empecemos esbozando el gráfco de la "función elemental":
Te invito a que interactúes con el siguiente recurso Autor: Carlos Alberto Rojas Hincapié (2021,p.47)
En la tabla anterior, podemos ver que $\ f(−1) = f(1) = 1$ , lo mismo pasa con $\ f(−2) = f(2) = 4$. Podemos decir en general que:
Esto se manifiesta en la gráfica, donde puede observarse que la función toma el mismo valor para un número (x) que para su opuesto (-x) , lo que se traduce en que la gráfica se refleja respecto del eje $\ y.$
Esto significa que la gráfica es simétrica con respecto al eje $\ y$, ó que el eje $\ y$, (esto es la recta vertical de ecuaión $\ x=0$) es el eje de simetría de la parábola.
El punto $\ V(0, 0)$ es llamado vértice de la parábola.
Gráficamente también podemos ver que la Imagen de la funcion es: $\textcolor{blue}{Im_f=[0; + \infin)}$
Ahora veamos como incide el parámetro $\textcolor{darkgreen}{"a"}$ Veremos la gráfica de:
Tomaremos diferentes valores de $\textcolor{darkgreen}{a}$ , para observar el efecto que produce este parámetro con respecto a la función elemental
$\ y= f(x)=x^2$
Te invito a que interactúes con el siguiente recurso de GeoGebra Actividad realizada en GeoGebra por Fabiana A. González
Propósito: Analizar el comportamiento de la función, modificando el parámetro $\ a.$
Instrucciones: Desplaza el botón a que se encuentra a la izquierda de la gráfica.
También podés oprimir el botón "play" (abajo a la izquierda) para que se inicie la animación, podés pausarlo en cualquier momento
Observa que sucede con el gráfico de $\textcolor{blue}{y= f(x)=ax^2}$ comparándolo con la función elemental $\ y= f(x)=x^2$
Te invito a ver a continuación algunos gráficos de parábolas para algunos valores de $\ a$. Se ha modificacdo la escala, para que puedan apreciarse todas las funciones en un mismo sistema de ejes coordenados, y así poder comparar los gráficos con la función elemental $\ y= f(x)=x^2$ . También podes ver debajo las tablas de valores correspondientes a cada una de las funciones.
ALgunas conclusiones y conceptos con lo visto hasta ahora, relacionado con la forma que adquiere la curva curva.
Cóncava hacia arriba (o Convexa)
Para valores a la izquierda respecto al eje de simetría, la gráfica es decreciente y a la derecha es creciente. La ordenada $\ y$ del vértice corresponde a un valor mínimo de la función. Se dice que la gráfica “abre hacia arriba”.
Cóncava hacia abajo
Para valores a la izquierda respecto al eje de simetría, la gráfica es creciente y a la derecha es decreciente. La ordenada $\ y$ del vértice corresponde a un valor máximo de la función. Se dice que la gráfica “abre hacia abajo”.
Ahora veamos como incide otro parámetro, al que llamaremos$\textcolor{darkgreen}{"k"}$.
Te invito a que interactúes con el siguiente recurso de GeoGebra Actividad realizada en GeoGebra por Fabiana A. González
Propósito: Analizar el comportamiento de la función, modificando el parámetro $\ k$
Instrucciones: Desplaza el botón k que se encuentra a la izquierda de la gráfica.
También podés oprimir el botón "play" (abajo a la izquierda) para que se inicie la animación, podés pausarlo en cualquier momento
Observa que sucede con el gráfico de $\textcolor{darkgreen}{y= f(x)=x^2+k}$ comparándolo con la función elemental $\ y= f(x)=x^2$
Como puede observarse en los gráficos, comparando los gráficos de las funciones de la forma $\textcolor{green}{\ y= f(x)=x^2+k}$ con el gráfico de la función elemental $\ f(x)=x^2$, vemos que ésta sufre un desplazamiento vertical de:
Se puede observar en este ejemplo,que la parábola se desplazó dos unidades hacia arriba. El vértice de la parábola ahora se ubica en las coordenadas $$\ V=(0,2)$$
Se puede observar en este ejemplo,que la parábola se desplazó dos unidades hacia abajo. El vértice de la parábola ahora se ubica en las coordenadas $$\ V=(0,-2)$$
Ahora veamos como incide otro parámetro, al que llamaremos$\textcolor{darkgreen}{"h"}$.
Te invito a que interactúes con el siguiente recurso de GeoGebra Actividad realizada en GeoGebra por Fabiana A. González
Propósito: Analizar el comportamiento de la función, modificando el parámetro $\ h $
Instrucciones: Desplaza el botón h que se encuentra a la izquierda de la gráfica.
También podés oprimir el botón "play"(abajo a la izquierda) para que se inicie la animación, podés pausarlo en cualquier momento
Observa que sucede con el gráfico de $\textcolor{darkgreen}{y= f(x)=(x-h)^2}$ comparándolo con la función elemental $\ y= f(x)=x^2$
Como puede observarse en los gráficos, comparando los gráficos de las funciones de la forma $\textcolor{green}{\ y= f(x)=(x-h)^2}$ con el gráfico de la función elemental $\ f(x)=x^2$, vemos que ésta ahora sufre un desplazamiento horizontal de:
Se puede observar en este ejemplo,que la parábola se desplazó dos unidades hacia la derecha .
El vértice de la parábola ahora se ubica en las coordenadas $$\ V=(2,0)$$
Se puede observar en este ejemplo,que la parábola se desplazó dos unidades a la izquierda.
El vértice de la parábola ahora se ubica en las coordenadas $$\ V=(-2,0)$$
Ahora veamos como inciden los dos parámetros, $\textcolor{darkgreen}{"h"}$ y $\textcolor{darkgreen}{"k"}$ simultáneamente.
Te invito a que interactúes con el siguiente recurso de GeoGebra Actividad realizada en GeoGebra por Fabiana A. González
Propósito: Analizar el comportamiento de la función, modificando los parámetros $\ h $ y $\ k $
Instrucciones: Desplaza los botones h y k que se encuentran a la izquierda de la gráfica.
También podés oprimir el botón "play"(abajo a la izquierda) para que se inicie la animación, podés pausarlo en cualquier momento
Observa que sucede con el gráfico de $\textcolor{darkgreen}{y= f(x)=(x-h)^2+k}$ comparándolo con la función elemental $\ y= f(x)=x^2$
Como puede observarse en los gráficos, comparando los de las funciones de la forma $\textcolor{green}{\ f(x)=(x-h)^2+k}$
con el gráfico de la función elemental $\ f(x)=x^2$, vemos que ésta ahora sufre tanto desplazamientos horizontales como verticales.
Los valores h y k nos brindan información importante, que nos ayudará a representar graficamente la función, en base a la función elemental.
Finalmente veremos como inciden los tres parámetros, $\textcolor{darkgreen}{a}$ , $\textcolor{darkgreen}{h}$ y $\textcolor{darkgreen}{k}$ simultáneamente.
Te invito a que interactúes con el siguiente recurso de GeoGebra Actividad realizada en GeoGebra por Fabiana A. González
Propósito: Analizar el comportamiento de la función, modificando los parámetros $\ a $ $\ h $ y $\ k $
Instrucciones: Desplaza los botones h y k que se encuentran a la izquierda de la gráfica.
En este caso no es conveniente usar la animación
Observa que sucede con el gráfico de $\textcolor{darkgreen}{y= f(x)=a(x-h)^2+k}$ comparándolo con la función elemental $\ y= f(x)=x^2$
Te invito a ver el siguiente video, en donde se muestra una interacción con el recurso geogebra de la página anterior:
| Forma | Ecuación | Parámetros |
|---|---|---|
| Polinómica o general | $$\ f(x)=a^2+bx+c$$ con $\ a≠ 0$ | $\ a$ , $\ b$ y $\ c$ |
| Canónica | $\ f(x)= a(x-h)^2 + k$$ con $\ a≠ 0$ $$\ f(x)=a(x-x_v)^2+y_v$$ con $\ a≠ 0$ |
$\ a$ , con $\ a≠ 0$ $\ h=x_v$ y $\ k=y_v$ |
| Factorizada | $$\ f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$ con $\ a≠ 0$ | $\ a≠ 0$ raices o ceros $\ x_1$ y $\ x_2$ |
Te invito a que interactúes con el siguiente recurso de GeoGebra Actividad tomada del recurso Libro de GeoGebra "Problemas de aplicación de la función cuadrática" Autores: Víctor Hugo Leyva García y Juventino Ávila Ramos Agosto de 2019"enlace
Propósito: Identificar los elementos de la función cuadrática.
Instrucciones: Selecciona las casillas de verificación para observar las caracteristicas de la función.
Tambien puedes arrastrar la parábola y ver las caracteristicas de la nueva función.
Te invito a que interactues con el siguiente recurso de Phet Colorado Actividad tomada de Phet Colorado
Propósito: Resumen función cuadrática. Revision de gráficos.
Instrucciones: Ingresa a los diferentes menúes que ves en la pantalla, pasando sobre cada una de las imagenes, haciendo click pudes seleccionar la que quieras explorar. Dentro de cada una, explora las diferentes interacciones que te propone el recurso.
Recuerda que puedes expandir las interactividades para verlas mejor en pantalla completa.
